1. Qu’est-ce qu’une équation ?

Une équation, c’est une égalité qui contient une inconnue (le plus souvent appelée x). Résoudre l’équation signifie trouver la valeur de x qui rend cette égalité vraie.

Exemple : 2x + 3 = 11 est une équation. La solution est x = 4, car 2 × 4 + 3 = 11. ✓

Définition Une équation du premier degré est une égalité de la forme ax + b = c, où a, b et c sont des nombres et x est l’inconnue. Le degré « premier » signifie que x est élevé à la puissance 1 (pas de $x^2 ni de x^3$).

2. La règle d’or

La Règle d’Or des équations

« Ce qu’on fait d’un côté du signe =, on le fait de l’autre côté »

Tu peux additionner, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre. L’égalité reste vraie tant que tu fais la même chose des deux côtés. L’objectif : arriver à x = un nombre.

3. Type 1 – ax + b = c (la forme la plus simple)

Stratégie : d’abord enlever b, ensuite diviser par a.

Ex Résoudre : 3x + 5 = 20

3x + 5 = 20 3x + 5 − 5 = 20 − 5 on soustrait 5 des deux côtés 3x = 15 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 on divise par 3 des deux côtés x = 5

Vérification : 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓

4. Type 2 – x des deux côtés (ax + b = cx + d)

Stratégie : regroupe tous les x d’un côté et tous les nombres de l’autre côté.

Ex Résoudre : 5x + 2 = 2x + 14

5x + 2 = 2x + 14 5x − 2x + 2 = 14 on soustrait 2x des deux côtés 3x + 2 = 14 3x = 14 − 2 = 12 on soustrait 2 x = 12 ÷ 3 = 4

Vérification : 5 × 4 + 2 = 22 et 2 × 4 + 14 = 22 ✓

Astuce pour ne pas se tromper de signe Quand tu passes un terme d’un côté à l’autre du signe =, son signe change. +2x devient −2x. −5 devient +5. Imagine une balance : si tu enleves quelque chose d’un côté, tu l’enlèves aussi de l’autre.

5. Type 3 – Avec des parenthèses (distribution)

Stratégie : d’abord développe les parenthèses, ensuite applique la méthode normale.

Ex Résoudre : 2(x + 3) = 3(x − 1)

2(x + 3) = 3(x − 1) 2x + 6 = 3x − 3 on distribue les deux membres 2x − 3x = −3 − 6 on regroupe les x à gauche, les nombres à droite −x = −9 x = 9 on divise par −1

Vérification : 2(9+3) = 24 et 3(9 − 1) = 24 ✓

Piège avec le signe moins devant une parenthèse Dans l’équation 5 − (2x + 3) = 7, le signe moins distribue sur TOUT ce qui est dans la parenthèse : 5 − 2x − 3 = 7. C’est l’erreur la plus courante avec les parenthèses.

6. Type 4 – Avec des fractions

Stratégie : multiplie toute l’équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.

Ex Résoudre : x/3 + 2 = 5

x/3 + 2 = 5 3 × (x/3 + 2) = 3 × 5 on multiplie tout par 3 x + 6 = 15 x = 15 − 6 = 9

Vérification : 9/3 + 2 = 3 + 2 = 5 ✓

Ex+ Résoudre : x/2 + x/3 = 5

x/2 + x/3 = 5 6 × x/2 + 6 × x/3 = 6 × 5 on multiplie par le PPCM de 2 et 3, c’est 6 3x + 2x = 30 5x = 30 x = 6

7. Cinq exercices corrigés

Exercice 1 – Très facile

Résoudre : 4x − 7 = 13

Correction :

4x − 7 = 13 4x = 13 + 7 = 20 x = 20 ÷ 4 = 5

Exercice 2 – Facile

Résoudre : 7x + 4 = 3x + 20

Correction :

7x − 3x = 20 − 4 4x = 16 x = 4

Exercice 3 – Intermédiaire (avec parenthèses)

Résoudre : 3(2x − 1) + 4 = 5(x + 2)

Correction :

6x − 3 + 4 = 5x + 10 distribution 6x + 1 = 5x + 10 simplification 6x − 5x = 10 − 1 x = 9

Vérification : 3(18 − 1)+4 = 55 et 5(9+2) = 55 ✓

Exercice 4 – Intermédiaire (signe moins devant parenthèse)

Résoudre : 10 − 2(x + 3) = 2x − 4

Correction :

10 − 2x − 6 = 2x − 4 attention au signe − qui distribue 4 − 2x = 2x − 4 4 + 4 = 2x + 2x 8 = 4x x = 2

Exercice 5 – Avancé (avec fraction)

Résoudre : (3x − 1)/4 = (x + 5)/2

Correction :

4 × (3x − 1)/4 = 4 × (x + 5)/2 on multiplie tout par 4 3x − 1 = 2(x + 5) 3x − 1 = 2x + 10 3x − 2x = 10 + 1 x = 11

Vérification : (33 − 1)/4 = 32/4 = 8 et (11+5)/2 = 16/2 = 8 ✓

8. Les erreurs classiques à éviter absolument

Erreur n°1 – Changer de signe en oubliant qu’on passe de l’autre côté « Je déplace 3x de droite à gauche, donc ça devient +3x à gauche » — NON. Si c’était +3x à droite, ça devient −3x à gauche. Toujours changer de signe quand on fait passer un terme de l’autre côté du égal.
Erreur n°2 – Oublier de distribuer complètement Dans 3(2x + 5), beaucoup d’élèves écrivent 6x + 5 au lieu de 6x + 15. Le 3 multiplie TOUS les termes à l’intérieur de la parenthèse.
Erreur n°3 – Diviser seulement une partie de l’équation Dans 3x = 15, si tu divises par 3, tu dois diviser TOUTE l’équation : les deux membres. On écrit 3x/3 = 15/3, donc x = 5.

Questions fréquentes sur les équations du premier degré

Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?

Une équation du premier degré est une égalité qui contient une inconnue (x) élevée à la puissance 1. Elle est de la forme ax + b = c. Résoudre l’équation signifie trouver la valeur de x qui rend l’égalité vraie.

Quelle est la règle d’or des équations ?

La règle d’or est : tout ce qu’on fait d’un côté du signe =, on le fait aussi de l’autre côté. On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre (jamais diviser par zéro !).

Comment vérifier qu’une solution est correcte ?

Il suffit de remplacer x par la valeur trouvée dans l’équation de départ et de vérifier que les deux membres sont égaux. C’est la vérification — fais-la toujours pour être sûr(e) de toi.