1. Définition et vocabulaire
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où :
- a est un nombre réel (a ≠ 0). On l’appelle le coefficient directeur (ou pente).
- b est un nombre réel. On l’appelle l’ordonnée à l’origine.
Son graphe est toujours une droite (non verticale).
- b = ordonnée à l’origine : c’est la valeur de f(0), c’est-à-dire l’endroit où la droite coupe l’axe des y.
- a = coefficient directeur : c’est la « pente » de la droite. Quand x augmente de 1, y augmente de a.
2. Comment tracer le graphe d’une fonction affine
Pour tracer une droite, il suffit de deux points. Voici la méthode :
Ex Tracer f(x) = 2x + 1
1 Trouve un premier point. Prends x = 0 (le plus simple) :
f(0) = 2 × 0 + 1 = 1 → Point A(0 ; 1)
2 Trouve un deuxième point. Prends x = 2 :
f(2) = 2 × 2 + 1 = 5 → Point B(2 ; 5)
3 Place les deux points sur le repère et trace la droite qui passe par ces points.
Graphe de f(x) = 2x + 1 — pente positive, la droite monte
3. Comment lire a et b sur un graphique
a = (yB − yA) / (xB − xA)
C’est la variation de y divisée par la variation de x. Sur le graphe, entre x=0 (y=1) et x=2 (y=5) : a = (5 − 1)/(2 − 0) = 4/2 = 2. Correct !
4. Sens de variation (croissante ou décroissante)
a > 0 → Fonction croissante
La droite monte
a < 0 → Fonction décroissante
La droite descend
a = 0 → Fonction constante
Droite horizontale
5. Cas particuliers
| Nom | Forme | Caractéristique | Exemple |
|---|---|---|---|
| Fonction linéaire | f(x) = ax | b = 0 → passe par l’origine | f(x) = 3x |
| Fonction constante | f(x) = b | a = 0 → droite horizontale | f(x) = 4 |
| Fonction affine générale | f(x) = ax + b | a ≠ 0 et b ≠ 0 | f(x) = 2x − 3 |
6. Trouver l’équation d’une droite à partir de deux points
Ex La droite passe par A(1 ; 5) et B(3 ; 11). Trouve son équation.
1 Calcule a (le coefficient directeur).
a = (yB − yA) / (xB − xA) = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3
2 Trouve b en utilisant un des deux points.
On sait que f(x) = 3x + b et que le point A(1 ; 5) est sur la droite, donc f(1) = 5.
3 × 1 + b = 5
3 + b = 5
b = 2
3 Conclus.
L’équation est f(x) = 3x + 2
Vérification avec B : f(3) = 3 × 3 + 2 = 11 ✓
7. Intersection de deux droites
Trouver l’intersection de deux fonctions affines, c’est trouver la valeur de x pour laquelle les deux fonctions donnent la même valeur. On résout l’égalité f(x) = g(x).
Ex Trouve l’intersection de f(x) = 2x + 1 et g(x) = −x + 7.
1 Pose f(x) = g(x).
2x + 1 = −x + 7
2 Résous l’équation.
2x + x = 7 − 1
3x = 6
x = 2
3 Calcule y.
y = f(2) = 2 × 2 + 1 = 5
Les deux droites se croisent au point (2 ; 5).
8. Trois exercices corrigés
Exercice 1 – Tracer et lire des informations
Soit f(x) = −2x + 4. (a) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? (b) Calcule f(0), f(1) et f(3). (c) Où la droite coupe-t-elle l’axe des x ?
Correction :
(a) a = −2 < 0, donc la fonction est décroissante.
(b) f(0) = −2 × 0 + 4 = 4 • f(1) = −2 + 4 = 2 • f(3) = −6 + 4 = −2
(c) La droite coupe l’axe des x quand f(x) = 0 :
−2x + 4 = 0 → x = 2. La droite coupe l’axe des x au point (2 ; 0).
Exercice 2 – Trouver l’équation d’une droite
Une droite passe par les points P(0 ; −3) et Q(4 ; 5). Trouve son équation.
Correction :
a = (5 − (−3)) / (4 − 0) = 8/4 = 2
Comme P(0 ; −3) est l’intersection avec l’axe y, on lit directement b = −3.
L’équation est f(x) = 2x − 3.
Vérification : f(4) = 8 − 3 = 5 ✓
Exercice 3 – Intersection de deux droites
Trouve l’intersection de f(x) = 3x − 2 et g(x) = −x + 6.
Correction :
3x − 2 = −x + 6
3x + x = 6 + 2
4x = 8
x = 2
y = f(2) = 3 × 2 − 2 = 4
Les deux droites se croisent au point (2 ; 4).
Vérification avec g : g(2) = −2 + 6 = 4 ✓
- f(x) = ax + b : a = pente, b = intersection avec l’axe y
- a > 0 → droite croissante (monte) ; a < 0 → droite décroissante (descend)
- Pour tracer : calcule 2 points, relie-les
- Pour l’équation à partir de 2 points : a = Δy/Δx, puis trouve b
- Intersection : résoudre f(x) = g(x)
Questions fréquentes sur les fonctions affines
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine où b = 0. Sa forme est f(x) = ax (sans terme constant). Son graphe est une droite qui passe obligatoirement par l’origine (0 ; 0). Une fonction affine avec b ≠ 0 ne passe pas par l’origine.
Comment trouver le coefficient directeur sur un graphique ?
Prends deux points distincts sur la droite. Calcule : a = (y2 − y1) / (x2 − x1). Si la droite monte de gauche à droite, a est positif. Si elle descend, a est négatif. Astuce : choisis des points où les coordonnées sont des entiers pour faciliter le calcul.
Comment trouver l’équation d’une droite connaissant deux points ?
En deux étapes : (1) calcule a = (y2 − y1) / (x2 − x1). (2) Remplace a et un des deux points dans y = ax + b pour trouver b : b = y1 − a × x1. Vérifie toujours avec le deuxième point.