1. Forme générale

$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. La courbe est une parabole.

  • Si $a > 0$ : parabole tournée vers le haut (minimum)
  • Si $a < 0$ : parabole tournée vers le bas (maximum)

2. Le discriminant

Formule

$\Delta = b^2 - 4ac$

Interprétation du discriminant

  • $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
  • $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = \frac{-b}{2a}$
  • $\Delta < 0$ : pas de racine réelle

3. Exemple complet

$f(x) = 2x^2 - 8x + 6$

$a = 2$, $b = -8$, $c = 6$

$\Delta = (-8)^2 - 4(2)(6) = 64 - 48 = 16 > 0$

$x_1 = \frac{8 - 4}{4} = 1$    $x_2 = \frac{8 + 4}{4} = 3$

Sommet : $\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2$   $f(2) = 2(4) - 16 + 6 = -2$

4. Forme canonique

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $(\alpha, \beta)$ est le sommet de la parabole.

$\alpha = \frac{-b}{2a}$   et   $\beta = f(\alpha)$

Questions fréquentes

Comment trouver les racines sans le discriminant ?

Si l’expression est factorisable directement (facteur commun, identité remarquable), c’est plus rapide. Sinon, le discriminant est la méthode systématique.

Que signifie $\Delta < 0$ ?

La parabole ne coupe pas l’axe des $x$. Le polynôme garde un signe constant (positif si $a > 0$, négatif si $a < 0$).

À quoi sert la forme canonique ?

Elle donne directement le sommet de la parabole et permet de déduire le tableau de variation de la fonction.