1. Les 3 identités à connaître par cœur

Carré d’une somme
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Carré d’une différence
$(a - b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$
Différence de deux carrés
(a + b)(a − b) = $a^2 − b^2$

2. Pourquoi ces formules sont-elles vraies ? (preuves visuelles)

Identité 1 – $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Imagine un grand carré de côté (a + b). Son aire est $(a + b)^2$. Maintenant, découpe ce carré en 4 morceaux :

$a^2$
(a × a)		 ab
(a × b)
ab
(b × a)		 $b^2$
(b × b)

Aire totale = $a^2 + ab + ab + b^2$ = $a^2 + 2ab + b^2$. C’est exactement la formule !

Identité 2 – $(a - b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$

C’est la même chose mais avec b négatif. On peut aussi le démontrer par le calcul :

$(a - b)^2$ = (a − b)(a − b) = a × a + a × (−b) + (−b) × a + (−b) × (−b) = $a^2 − ab − ab + b^2$ = $a^2 − 2ab + b^2$

Identité 3 – (a + b)(a − b) = $a^2 − b^2$

Développons :

(a + b)(a − b) = a × a + a × (−b) + b × a + b × (−b) = $a^2 − ab + ab − b^2$ = $a^2 − b^2$ les termes −ab et +ab s’annulent
Pourquoi « remarquables » ? Ces identités sont appelées « remarquables » parce qu’elles sont particulièrement utiles : on les retrouve partout en maths. Les connaître par cœur te permettra de gagner beaucoup de temps en classe et aux examens.

3. Utilisation 1 – Développer

Développer signifie transformer une expression factorisée (avec parenthèses) en une somme.

Exercice 1 – Développement simple

Développer : $(3x + 2)^2$

On identifie a = 3x et b = 2.

$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 × 3x × 2 + 2^2$ = 9$x^2$ + 12x + 4

Exercice 2 – Carré d’une différence

Développer : $(5 - 2x)^2$

On identifie a = 5 et b = 2x.

$(5 - 2x)^2 = 5^2 − 2 × 5 × 2x + (2x)^2$ = 25 − 20x + 4$x^2$

Exercice 3 – Différence de deux carrés

Développer : (4x + 3)(4x − 3)

On identifie a = 4x et b = 3. On reconnaît la forme (a + b)(a − b).

(4x + 3)(4x − 3) = $(4x)^2 − 3^2$ = 16$x^2$ − 9

4. Utilisation 2 – Factoriser

Factoriser signifie transformer une somme en un produit. C’est l’inverse du développement. Pour factoriser, tu dois reconnaître quelle identité est utilisée.

Comment repérer la bonne identité pour factoriser ?
  • Si tu vois $A^2 − B^2$ (différence de deux carrés) → utilise (A + B)(A − B)
  • Si tu vois $A^2 + 2AB + B^2$ → utilise $(A + B)^2$
  • Si tu vois $A^2 − 2AB + B^2$ → utilise $(A - B)^2$

Exercice 4 – Factoriser une différence de carrés

Factoriser : 9$x^2$ − 16

Je reconnais 9$x^2 = (3x)^2 et 16 = 4^2$ → c’est $A^2 − B^2$ avec A = 3x et B = 4.

9$x^2$ − 16 = (3x + 4)(3x − 4)

Exercice 5 – Factoriser un carré parfait

Factoriser : $x^2$ + 6x + 9

Je cherche si c’est un carré parfait. $x^2 = x^2, 9 = 3^2$, et 6x = 2 × x × 3 → oui ! C’est $(x + 3)^2$.

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Exercice 6 – Factoriser avec un coefficient

Factoriser : 4$x^2$ − 12x + 9

4$x^2 = (2x)^2, 9 = 3^2$, et 12x = 2 × 2x × 3. C’est $A^2 − 2AB + B^2$ avec A = 2x et B = 3.

4$x^2 − 12x + 9 = (2x - 3)^2$

Vérification : $(2x-3)^2 = 4x^2$ − 12x + 9 ✓

5. Les erreurs à absolument éviter

Erreur n°1 – $(a + b)^2$ ≠ $a^2 + b^2$ C’est l’erreur la plus grave et la plus fréquente. $(a + b)^2$ ≠ $a^2 + b^2$. Il MANQUE le terme 2ab. La formule complète est $(a + b)^2 = a^2$ + 2ab + $b^2$.
Erreur n°2 – Signe du terme du milieu Dans $(a - b)^2 = a^2 − 2ab + b^2, le dernier terme b^2$ est positif (car −b fois −b = +$b^2$). Beaucoup d’élèves écrivent −$b^2$ à la fin — c’est faux.
Erreur n°3 – Ne pas vérifier que c’est bien un carré parfait Avant de factoriser $x^2$ + 8x + 9, vérifie : 9 = $3^2$ et 2 × x × 3 = 6x ≠ 8x. Ce n’est pas un carré parfait ! Il faut toujours vérifier le terme du milieu.

Questions fréquentes sur les identités remarquables

Pourquoi $(a + b)^2$ ≠ $a^2 + b^2$ ?

Parce que $(a + b)^2$ = (a + b)(a + b), et quand on développe ce produit, on obtient $a^2 + 2ab + b^2$. Le terme 2ab correspond aux deux rectangles qui apparaissent dans la preuve par l’aire. Oublier ce terme 2ab est l’erreur la plus fréquente des élèves.

Comment reconnaître quelle identité utiliser pour factoriser ?

Examine la forme de l’expression :

  • $A^2 − B^2$ → différence de deux carrés → (A + B)(A − B)
  • $A^2 + 2AB + B^2$ → carré de somme → $(A + B)^2$
  • $A^2 − 2AB + B^2$ → carré de différence → $(A - B)^2$
À quoi servent les identités remarquables dans la pratique ?

Elles servent à deux choses principales : développer (transformer un produit en somme, utile pour simplifier des expressions) et factoriser (transformer une somme en produit, utile pour résoudre des équations, simplifier des fractions ou étudier des expressions).