1. Le PGCD
Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux à la fois.
Méthode 1 : liste des diviseurs
PGCD(12, 18)
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6
PGCD(12, 18) = 6
Méthode 2 : algorithme d’Euclide
On divise le plus grand par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.
PGCD(252, 198)
252 = 198 × 1 + 54
198 = 54 × 3 + 36
54 = 36 × 1 + 18
36 = 18 × 2 + 0
PGCD(252, 198) = 18
2. Le PPCM
Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre qui est multiple des deux.
$\text{PPCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a, b)}$
PPCM(12, 18) = $\frac{12 \times 18}{6}$ = $\frac{216}{6}$ = 36
3. Application : fractions irréductibles
Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Simplifier $\frac{36}{48}$
PGCD(36, 48) = 12
$\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$
Questions fréquentes
À quoi sert le PGCD dans la vie courante ?
Le PGCD sert à partager des quantités en parts égales les plus grandes possibles (découper un terrain, répartir des objets).
À quoi sert le PPCM ?
Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun pour additionner des fractions, ou à trouver des coïncidences de cycles.
Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux nombres. Le PPCM est le plus petit nombre qui est un multiple des deux.