Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple concret : un café coûte 1,50€. Si j’en prends 2, je paie 3€ ; si j’en prends 3, je paie 4,50€… Le prix est proportionnel au nombre de cafés achetés. Le coefficient est 1,50.
Deux grandeurs A et B sont proportionnelles si et seulement si leur rapport A ÷ B est constant (il ne change pas quand les valeurs changent). Ce rapport constant s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Ce qui n’est PAS proportionnel
Attention aux pièges ! La relation entre l’âge et la taille d’un enfant n’est pas proportionnelle. Une personne de 30 ans n’est pas deux fois plus grande qu’une personne de 15 ans. De même, le prix d’une pizza avec supplatément n’est pas proportionnel au nombre de suppléments si une part fixe de base s’ajoute.
Lire et compléter un tableau de proportionnalité
Un tableau de proportionnalité présente deux grandeurs sur deux lignes. Pour le vérifier, on divise chaque valeur de la ligne 2 par la valeur correspondante de la ligne 1 : si tous les résultats sont égaux, c’est un tableau proportionnel.
Exemple : une voiture consomme 6 litres aux 100 km.
| Distance (km) | 100 | 200 | 350 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| Carburant (L) | 6 | 12 | 21 | 30 |
Vérification : 6 ÷ 100 = 0,06 ; 12 ÷ 200 = 0,06 ; 21 ÷ 350 = 0,06 ; 30 ÷ 500 = 0,06. Le coefficient est 0,06. C’est bien un tableau proportionnel.
Pour compléter une case manquante, deux méthodes :
- Multiplier par le coefficient : distance × 0,06 = carburant.
- Règle de trois (voir ci-dessous).
La règle de trois (produit en croix)
La règle de trois permet de trouver une valeur manquante dans un tableau proportionnel. Voici la méthode en trois étapes.
1. Écrire les deux couples de valeurs connues.
2. Poser l’égalité des produits en croix : a × d = b × c.
3. Isoler la valeur inconnue.
Exemple concret : une recette pour 4 personnes nécessite 300 g de farine. Quelle quantité pour 7 personnes ?
Réponse : il faut 525 g de farine pour 7 personnes.
Dessinez un tableau avec les 4 valeurs (3 connues + 1 inconnue x). Reliez en croix les deux valeurs qui se font face : leur produit est égal au produit de l’autre croix. Toujours : valeur connue × valeur connue = valeur connue × x, donc x = (v1 × v2) ÷ v3.
Exemple avec une échelle de carte
Sur une carte à l’échelle 1/25 000, une distance mesure 8 cm. Quelle est la distance réelle ?
La distance réelle est 2 km.
Les pourcentages : la proportionnalité sur 100
Un pourcentage n’est rien d’autre qu’une proportion où la référence est 100. « 20 % » signifie « 20 pour 100 », soit le coefficient 0,20.
| Calcul | Méthode | Résultat |
|---|---|---|
| 20 % de 350 € | 350 × 20 ÷ 100 | 70 € |
| 15 % de 80 € | 80 × 15 ÷ 100 | 12 € |
| Prix après –30 % sur 120 € | 120 × 70 ÷ 100 | 84 € |
Pour calculer un prix après une réduction de x %, multipliez le prix initial par (100 – x) ÷ 100. Exemple : –30 % sur 120 € → 120 × 0,70 = 84 €. Plus rapide que de calculer d’abord la réduction puis de soustraire !
Proportionnalité et graphique
Quand on représente graphiquement deux grandeurs proportionnelles, les points s’alignent toujours sur une droite passant par l’origine (0,0). C’est un critère visuel très utile pour vérifier si une relation est proportionnelle.
Une droite qui ne passe pas par l’origine (0,0) ne représente pas une situation de proportionnalité. Par exemple, le prix d’un abonnement téléphone = frais fixes + coût par minute : la droite ne passe pas par l’origine.
Questions fréquemment posées
Comment reconnaître un tableau de proportionnalité ?
Calculez le rapport (ligne 2 ÷ ligne 1) pour chaque colonne. Si tous les rapports sont égaux, c’est un tableau proportionnel. Vous pouvez aussi utiliser le produit en croix : pour deux colonnes, si a × d = b × c, c’est proportionnel.
Quelle est la différence entre la règle de trois et le produit en croix ?
Ce sont deux formulations du même raisonnement. La règle de trois écrit « si 4 personnes → 300 g, alors 7 personnes → 7 × 300 ÷ 4 ». Le produit en croix écrit « 4 × x = 7 × 300 ». Les deux donnent x = 525 g.
Comment calculer un pourcentage avec la proportionnalité ?
Posez le tableau : 100 % correspond à la valeur totale, et p % correspond à x. Alors x = (p × valeur totale) ÷ 100. Exemple : 20 % de 350 € = (20 × 350) ÷ 100 = 70 €.
La vitesse est-elle une situation de proportionnalité ?
Oui, à vitesse constante la distance parcourue est proportionnelle au temps. Si vous roulez à 90 km/h, en 2 h vous parcourez 180 km, en 3 h 270 km… Le coefficient est 90 (la vitesse). En revanche, si la vitesse varie, la proportionnalité ne s’applique plus directement.