1. Définition

$\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $(\sqrt{a})^2 = a$ (avec $a \geq 0$).

$\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$   |   $\sqrt{2} \approx 1{,}414$

2. Règles de calcul

Propriétés essentielles

  • $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
  • $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
  • $(\sqrt{a})^2 = a$
  • $\sqrt{a^2} = |a|$
Attention ! $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. C’est l’erreur la plus fréquente !

3. Simplifier une racine

Simplifier $\sqrt{50}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Simplifier $\sqrt{72}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

4. Rationaliser le dénominateur

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Questions fréquentes

Peut-on calculer la racine carrée d’un nombre négatif ?

Non, en 3e et au lycée, $\sqrt{a}$ n’existe que si $a \geq 0$. Les racines de nombres négatifs font partie des nombres complexes (études supérieures).

Comment simplifier une racine carrée ?

Cherchez le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine (4, 9, 16, 25, 36…), puis sortez-le.

Pourquoi rationaliser le dénominateur ?

C’est une convention d’écriture : on préfère ne pas avoir de racine au dénominateur pour faciliter les comparaisons et les calculs.