1. L’idée intuitive : comprendre Pythagore en 30 secondes
Imagine un triangle rectangle. Il a un angle droit (90°), marqué par un petit carré. Le côté le plus long — celui qui est en face de l’angle droit — s’appelle l’hypoténuse.
Le théorème de Pythagore dit quelque chose de magnifique : si tu construis un carré sur chacun des trois côtés du triangle, alors l’aire du grand carré (sur l’hypoténuse) est exactement égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Voyons cela avec le triangle 3-4-5, le plus célèbre de tous :
(3 × 3)
(4 × 4)
(5 × 5)
9 + 16 = 25. Ça marche exactement ! Et c’est ce que dit la formule.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
2. Cas 1 – Calculer l’hypoténuse (le côté le plus long)
C’est l’utilisation la plus simple. On connaît les deux petits côtés, on cherche l’hypoténuse.
Ex Le triangle ABC est rectangle en A. AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule BC.
1 Identifie l’hypoténuse. Le triangle est rectangle en A, donc BC est l’hypoténuse.
2 Écris la formule.
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
3 Remplace par les valeurs.
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2$ = 36 + 64
$BC^2$ = 100
4 Prends la racine carrée.
BC = $\sqrt{}$100 = 10 cm
3. Cas 2 – Calculer un côté (quand on connaît l’hypoténuse)
C’est l’utilisation qui pose le plus de problèmes aux élèves. Il faut isoler le côté inconnu.
Ex Le triangle DEF est rectangle en D. DF = 5 cm et EF = 13 cm. Calcule DE.
1 Identifie l’hypoténuse. Le triangle est rectangle en D, donc EF (=13 cm) est l’hypoténuse.
2 Écris la formule.
$EF^2 = DE^2 + DF^2$
3 Remplace par les valeurs.
$13^2 = DE^2 + 5^2$
169 = $DE^2$ + 25
4 Isole $DE^2$.
$DE^2$ = 169 − 25
$DE^2$ = 144
5 Prends la racine carrée.
DE = $\sqrt{}$144 = 12 cm
4. Cas 3 – La réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
La réciproque est l’inverse du théorème : au lieu de partir d’un triangle rectangle pour calculer un côté, on part des trois côtés pour prouver que le triangle est rectangle.
Ex Un triangle a des côtés mesurrant 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ?
1 Identifie le plus grand côté. C’est 25 cm. Si le triangle est rectangle, 25 est l’hypoténuse.
2 Calcule le carré du plus grand côté.
$25^2$ = 625
3 Calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
$7^2 + 24^2$ = 49 + 576 = 625
4 Conclus.
625 = 625. Les deux quantités sont égales, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, et l’angle droit est en face du côté de 25 cm.
5. Tableau récapitulatif des 3 utilisations
| Situation | Ce qu’on connaît | Ce qu’on cherche | Formule à utiliser |
|---|---|---|---|
| Calcul direct | Les 2 petits côtés a et b | L’hypoténuse c | c = $\sqrt{}(a^2 + b^2$) |
| Calcul inverse | L’hypoténuse c et un côté a | L’autre côté b | b = $\sqrt{}(c^2 − a^2$) |
| Réciproque | Les 3 côtés | Prouver que le triangle est rectangle | Vérifier si $grand^2 = a^2 + b^2$ |
6. Exercices corrigés
Exercice 1 – Niveau facile
Le triangle RST est rectangle en R, avec RS = 9 cm et RT = 12 cm. Calcule ST.
Correction :
ST est l’hypoténuse (angle droit en R).
$ST^2 = RS^2 + RT^2 = 9^2 + 12^2$ = 81 + 144 = 225
ST = $\sqrt{}$225 = 15 cm
Exercice 2 – Niveau intermédiaire
Dans le triangle LMN rectangle en M, LN = 17 cm et MN = 8 cm. Calcule LM.
Correction :
LN est l’hypoténuse (angle droit en M), donc LN = 17 cm.
$LN^2 = LM^2 + MN^2$
$17^2 = LM^2 + 8^2$
289 = $LM^2$ + 64
$LM^2$ = 289 − 64 = 225
LM = $\sqrt{}$225 = 15 cm
Exercice 3 – Niveau avancé (réciproque)
Un triangle a des côtés de 9 cm, 40 cm et 41 cm. Démontrer que ce triangle est rectangle.
Correction :
Le plus grand côté est 41 cm. Vérifions si $41^2 = 9^2 + 40^2$.
$41^2$ = 1681
$9^2 + 40^2$ = 81 + 1600 = 1681
1681 = 1681 ✓
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, l’angle droit étant en face du côté de 41 cm.
7. Les erreurs classiques à ne pas faire
Questions fréquentes sur le théorème de Pythagore
Comment identifier l’hypoténuse d’un triangle rectangle ?
L’hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle. C’est le côté qui se trouve en face de l’angle droit (l’angle marqué par un petit carré). Dans la formule, c’est toujours le côté noté c (dans $a^2 + b^2 = c^2$).
À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
La réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle en ne connaissant que la longueur de ses trois côtés. C’est utile quand on ne peut pas mesurer l’angle avec un rapporteur, ou dans des exercices de démonstration.
Quelle est l’erreur la plus fréquente des élèves avec Pythagore ?
L’erreur la plus fréquente est d’oublier de prendre la racine carrée à la fin. On calcule $c^2, mais on donne c^2$ comme réponse au lieu de calculer c = √$c^2$. La deuxième erreur la plus courante est de confondre l’hypoténuse avec un autre côté.