1. L’idée de base : la proportionnalité

Thalès, c’est une histoire de proportionnalité. Quand des droites parallèles coupent deux droites qui se croisent, elles découpent des segments proportionnels.

Dit autrement : si tu réduis un triangle en gardant les angles, tous les côtés sont réduits dans le même rapport. C’est exactement ce que dit Thalès.

2. Les deux configurations

Configuration Triangle

A M N B C

M et N sont sur les deux côtés du triangle. (MN) // (BC)

Configuration Papillon (sablier)

O A B C D

Les parallèles sont de part et d’autre du point de croisement O.

Comment savoir quelle configuration on a ?
  • Configuration triangle : le sommet A est à l’extérieur, les deux parallèles coupent les côtés du triangle du même côté. On voit un « petit triangle » à l’intérieur d’un grand.
  • Configuration papillon : le point d’intersection est entre les deux parallèles. On voit deux triangles en forme de sablier.

3. Énoncé du théorème

Pour la configuration triangle (A sommet, (MN) // (BC)) :

$$ AM/AB = AN/AC = MN/BC $$

En mots : si (MN) est parallèle à (BC) et que les droites (AB) et (AC) sont les droites sécantes passant par A, alors les rapports des segments sont égaux.

Mémo : « petit sur grand » Dans la configuration triangle, on écrit toujours la mesure du segment près du sommet (le petit) divisée par la mesure du segment total (le grand). AM est près de A, AB est le total → AM/AB.

4. Méthode pas à pas pour trouver une longueur

Ex Dans le triangle ABC, (MN) // (BC). AM = 3, AB = 7.5, BC = 10. Calcule MN.

1 Vérifie la configuration. On a un triangle avec (MN) // (BC) — configuration triangle classique.

2 Écris les rapports de Thalès.
D’après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC

3 Remplace par les valeurs.
3/7.5 = MN/10

4 Résoudre (règle de trois).
MN = 10 × 3/7.5 = 30/7.5 = 4

5. Exemple complet avec AM inconnu

Ex Dans le triangle ABC, (MN) // (BC). AB = 12, AC = 9, AN = 6. Calcule AM.

1 Écris les rapports de Thalès.
AM/AB = AN/AC

2 Remplace.
AM/12 = 6/9

3 Calcule.
AM = 12 × 6/9 = 72/9 = 8

6. La réciproque du théorème de Thalès

La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles à partir de mesures de segments.

Énoncé de la réciproque Si AM/AB = AN/AC (et que M est sur (AB), N sur (AC)), alors (MN) est parallèle à (BC).

Ex Dans le triangle ABC, M est sur (AB) et N est sur (AC) avec AM = 4, AB = 10, AN = 6, AC = 15. Montrer que (MN) // (BC).

1 Calcule AM/AB.
AM/AB = 4/10 = 0,4

2 Calcule AN/AC.
AN/AC = 6/15 = 0,4

3 Conclus.
AM/AB = AN/AC = 0,4. Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).

7. Exercices corrigés

Exercice 1 – Trouver une longueur (configuration triangle)

Dans le triangle ABC, (DE) // (BC). AD = 5, DB = 10, BC = 18. Calcule DE.

Correction :

AB = AD + DB = 5 + 10 = 15

D’après Thalès : AD/AB = DE/BC

5/15 = DE/18

DE = 18 × 5/15 = 90/15 = 6

Exercice 2 – Configuration papillon

Deux droites se coupent en O. (AB) // (CD). OA = 4, OC = 6, OB = 5. Calcule OD.

Correction :

Dans la configuration papillon, Thalès donne : OA/OC = OB/OD

4/6 = 5/OD

OD = 5 × 6/4 = 30/4 = 7,5

Exercice 3 – Réciproque (prouver des parallèles)

Dans le triangle RST, U est sur (RS) et V est sur (RT). RU = 3, RS = 9, RV = 4, RT = 12. Montrer que (UV) // (ST).

Correction :

RU/RS = 3/9 = 1/3

RV/RT = 4/12 = 1/3

RU/RS = RV/RT = 1/3. Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (UV) est parallèle à (ST).

8. Erreurs classiques à éviter

Erreur n°1 – Mauvais rapports Une erreur très fréquente est d’écrire AM/MN = AB/BC — ce sont des segments de droites différentes. Il faut toujours comparer les segments sur la même droite sécante : AM/AB avec AN/AC.
Erreur n°2 – Oublier de vérifier que les droites sont bien parallèles Avant d’appliquer Thalès, l’énoncé doit préciser que les droites sont parallèles (ou tu dois l’avoir prouvé). Si ce n’est pas mentionné, tu ne peux pas appliquer le théorème.
Erreur n°3 – Confondre les deux configurations Dans la configuration papillon (sablier), les rapports s’écrivent différemment : OA/OC = OB/OD (et non OA/OB). Fais bien attention à la figure avant d’écrire quoi que ce soit.

9. Récapitulatif

Utilisation Condition Ce qu’on écrit Pour trouver
Théorème (config triangle) (MN) // (BC) AM/AB = AN/AC = MN/BC Une longueur inconnue
Théorème (config papillon) (AB) // (CD) OA/OC = OB/OD Une longueur inconnue
Réciproque On connaît 4 longueurs Vérifier AM/AB = AN/AC Prouver que deux droites sont //

Questions fréquentes sur le théorème de Thalès

Comment identifier la bonne configuration pour appliquer Thalès ?

Il faut deux droites sécantes (qui se coupent en un point) coupées par deux droites parallèles. Si les parallèles coupent les deux sécantes du même côté du sommet, c’est la configuration triangle. Si elles coupent de part et d’autre du point d’intersection, c’est la configuration papillon.

Quelle est la différence entre le théorème et sa réciproque ?

Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur en utilisant le fait que les droites sont parallèles. La réciproque fait l’inverse : on connaît les longueurs et on veut prouver que deux droites sont parallèles.

Quelle erreur fait-on le plus souvent avec Thalès ?

L’erreur la plus fréquente est d’écrire des mauvais rapports en mélangeant les segments des deux droites sécantes. Par exemple écrire AM/MN au lieu de AM/AB. Il faut toujours comparer un segment à la droite complète sur la même droite sécante.