1. Définition
Un vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement du point A vers le point B. Il a une direction, un sens et une longueur (norme).
2. Coordonnées d’un vecteur
Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, alors $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$
$A(1 ; 3)$ et $B(4 ; 7)$
$\vec{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
3. Opérations sur les vecteurs
Addition
$\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$
Multiplication par un scalaire
$k \cdot \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$
4. Relation de Chasles
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
5. Colinéarité
Deux vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un vecteur et un segment ?
Un segment est juste une longueur. Un vecteur a en plus une direction et un sens. Deux vecteurs égaux peuvent être placés n’importe où.
À quoi sert la colinéarité ?
À prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
Comment calculer la norme d’un vecteur ?
$||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$. C’est la longueur du déplacement.